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- 求和公式
- 等比例数列求和公式的推导
- 等差数列求和公式的推导
求和公式
等比例数列求和公式的推导
等差数列求和公式的推导
三月到学霸特别整理了2022年高考第二轮复习的高中数学算术级数求和公式+方法，希望能为广大考生和家长提供帮助。
等差数列是一种常见的数列，可以用AP表示。如果一个数列从第二项开始，每一项与其前一项之差等于同一个常数，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的容差，通常用字母d表示。
(一)等差数列求和公式
公式法
位错减法
求和公式
4.分组方法
有一种数列，既不是等差数列，也不是等比数列。这类数列如果适当分解，可以分解成几个等差、等比例或常见的数列，然后分别求和，再组合。
5.消除拆分项目
适用于分数形式的一般项公式，将一项拆分成两种或两种以上形式的差，即an = f (n+1)-f (n)，然后相加抵消掉许多中间项。
总结:这种变形的特点是原序列的每一项拆分成两项后，中间的大部分项相互抵消。只剩下几样东西了。
注:其余项目具有以下特征
其余项目前后的位置是对称的。
其余各项的正负是相反的。
6.数学归纳
一般来说，要证明一个与正整数n有关的命题，有以下步骤:
(1)证明当n取第一值时命题成立；
(2)假设n = k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。
示例:
验证:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明:
当n=1时，有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设当n=k时命题为真，那么:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .……+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
那么当n=k+1时，有:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4+2×3×4 * 5+3×4×5×6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即当n=k+1时，原方程仍然成立，用归纳法证明。
7.项的总和。
(常采用先试后求和的方法)
例如:1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
方法1:(并发)
求奇数项和偶数项之和，并减去它们。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三:
要构造一个新的数列，可以借用等差数列和等比数列的组合。
an=n(-1)^(n+1)
(2)等差数列的判断及其性质
等差数列的判断
(1)a(N+1)-a(N)= d(d为常数，n ∈N*)[或a(N)-a(N-1)= d，n ∈N*，n ≥2，d为常数]等价于{a (n
(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*]等价于{a(n)}等差数列。
(3)a(n)=kn+b [k和b为常数，n∈N*]等价于{a(n)}等差数列。
(4) S (n) = a (n) 2+b (n) [a和b是常数，a不为0，n ∈N*]等价于{a(n)}是等差数列。
特性
在差等差数列中，第一项和最后一项距离相等的两项之和相等。并且等于第一项和最后一项之和；特别是，如果项数为奇数，则等于中项的2倍。
即a(1)+a(n)= a(2)+a(n-1)= a(3)+a(n-2)=…= 2 * a。
例:a(1)+a(6)=12依次为:1，3，5，7，9，11；a(2)+a(5)= 12；a(3)+a(4)= 12；即在一个差的等差数列中，第一项和最后一项距离相等的两项之和相等。等于第一项和最后一项之和。
顺序:1，3，5，7，9中a(1)+a(5)= 10；a(2)+a(4)= 10；a(3)= 5 =[a(1)+a(5)]/2 =[a(2)+a(4)]/2 = 10/2 = 5；也就是说，如果项数为奇数，且总和等于中间项的2倍，也可参见算术中的中项。
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