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导读
黎曼是在什么意义上，算出了全体自然数的和等于-1/12？
本文为黎曼猜想系列之三，黎曼猜想（一）见黎曼猜想（一）每出现一个数学公式，就会吓跑一半观众？如何打破“跳蚤效应” | 科技袁人，黎曼猜想（二）见黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？我不仅算起黎曼猜想，还写了个程序 | 科技袁人
视频链接：
西瓜视频：
https://www.ixigua.com/7037307207674757644
本视频发布于2021年12月3日，观看量已超24万
精彩呈现：
在前两期节目中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。到目前为止，我们讲的都是欧拉的工作，正主黎曼还没出来呢！
那么黎曼究竟做了些什么呢？黎曼做了很多事情，他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个著名的猜想，就是黎曼猜想。与此同时，他的推导过程有一个副产品也变得非常著名，在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢？就是下面这个式子：
全体自然数的和等于-1/12，你八成听说过这个说法，对不对？！
实际上，我的不少朋友不但是听说过这个说法，而且是真的相信了，真的是按照字面上理解这个说法。这样一来，就造成了严重的矛盾：自然数依次相加，不是应该越来越大，超过任何限制吗？怎么可能得到一个有限的值？更不可思议的是，怎么还能得到一个负值？正数加正数只可能得到正数，怎么会变成负数？
按照这样想下去，就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的？难道数学是一门违反常识的学科？难道数学家是一群阴谋家，他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密？……
更加令公众恐慌的的是，还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样：
“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一，数学家之外没人知道这件事。”
“这是一个惊悚的结果。”
“这确实有悖常识，因为你内心总想让这个序列停下来，而一旦序列停止，你就再也没法理解这个结果。”
“在数轴的无穷远处，蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……
于是乎，我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说，简直是世界观都要崩溃了！
好吧，我们就借这个机会，向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法，例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”，“全体自然数的平方和等于0”，都是同样的道理，我们顺便可以一网打尽。
首先，来告诉大家基本的答案：你的常识是正确的，这些说法都是错误的。数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家，数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕，完全可以保全你的世界观和安全感。
然后，这些说法虽然是错误的，但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下，它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说：我觉得我还可以再抢救一下！
抢救什么呢？就是抢救这些说法中的“和”的定义。也就是说，如果按照最基本的加和方法，1加2等于3，3加4等于7等等，那么这些说法都是胡扯。但如果定义一些其他的加和方法，那么这些说法可以变成正确的。
下面，我们就来讲黎曼是在什么意义上，算出了全体自然数的和等于-1/12。
在前两期中，我们已经讲过，研究质数分布的基本出发点是欧拉乘积公式：
这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量，当且仅当s
